一元二次方程的标准形式为 \( ax^2 + bx + c = 0 \)（其中 \( a \neq 0 \)）。为了推导其求根公式，我们需要通过一系列代数运算来解出未知数 \( x \)。
首先，我们将方程两边同时除以 \( a \)，使二次项系数变为 1。这样，方程变为：
\[
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
\]
接下来，我们移项，将常数项移到右边：
\[
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
\]
为了完成平方，需要在等式左边加上一个适当的数，使得左边可以写成完全平方的形式。这个数是 \( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \)，即 \( \frac{b^2}{4a^2} \)。因此，在等式两边同时加上 \( \frac{b^2}{4a^2} \)：
\[
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
\]
左边的表达式现在是一个完全平方，可以写成：
\[
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}
\]
右边的分母需要统一，得到：
\[
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
\]
接下来，我们对方程两边开平方，注意正负号：
\[
x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}
\]
进一步简化，开平方后分子和分母分离：
\[
x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
最后，将 \( \frac{b}{2a} \) 移到右边，得到最终的求根公式：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
这就是一元二次方程的求根公式。该公式适用于所有形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的方程，只要 \( a \neq 0 \)。通过此公式，我们可以直接计算出方程的两个根（可能相等或为复数）。这一推导过程展示了数学中代数技巧的重要性，同时也揭示了方程求解的本质。